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什么叫做比和比值(比的意义和性质)

100次浏览     发布时间:2024-08-07 14:15:55    

六年级上册《比》这一单元紧随着分数除法的学习,也在大多数学校期中考试的考试范围。比的基础知识点并不是很多,但是需要理解透彻,用起来就能得心应手。

一、比的意义

1、比:两个数相除又叫做两个数的比。比表示的两个数之间的相除关系。

2、比的结构:在两个数的比中,比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项

比的前项除以后项所得的商,叫做比值。比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示。

最简比:比的前项和后项都是整数且只有公因数1,这样的比称为最简整数比。

3、比可以表示两个同类数量之间的倍数关系:比如一个长方形长和宽的比是15:10;

也可以表示两个不同类数量之间的相除关系,得到一个新的量:比如路程÷时间=速度。

4、求比值:

比的前项除以后项所得的商叫做比值,所以用比的前项除以后项即可求得比值。

比值是一个具体的数,通常用分数表示,也可以用小数或整数表示。

  • 比值是否带单位:同类数量的比仅表示数量之间的倍数关系,其比值不带单位
  • 不同类数量的比,其比值是一个新的数量,通常带一个复合单位(如 速度)。

5、比与比值的关系:二者在写法上可能相同(都可以用分数表示),但比表示两个数量之间的相除关系;比值则是一个具体的数字。

6、比、除法与分数之间的联系:a:b=a÷b=a/b(b≠0)

比、除法与分数之间的区别:

  • (1)、意义不同:比表示两个数量之间的相除关系;除法是一种运算;分数是一个数;
  • (2)、表示方法不同:除法是一种运算,只能用算式表示;比和分数都可以用分数的形式表示,但是分数并不一定表示两个数量的比。
  • (3)、结果不同:除法的计算结果是一个商,这个商可以是整数、小数或分数;比只有当要求比值的时候,才需要用除法计算,比值可以用整数、小数或分数表示;而分数就是一个数,不需要计算。

7、为什么比的后项不能为0:在除法中,除数不能为0;在分数中,分母不能为0;而比的后项就相当于除法中的除数、分数中的分母,所以比的后项也不能为0

8、求比中的未知项:

  • (1)、在除法中,被除数÷除数=商,这3个数量只要知道其中任意2个量,就能求出另一个量。除数=被除数÷商;被除数=商×除数。
  • (2)、比和除法本质上相通的,也就是说,比的前项、后项以及比值中的任意两个量,就能求出另一个量。前项=后项×比值;后项=前项÷比值;比值=前项÷后项

9、体育比赛中的比分,与数学的中比有什么区别?

  • (1)、体育比赛中的比表示的仅仅是比赛双方的得分情况,比如3:2或11:9等等,也就可以是2:0或0:3甚至是0:0,这个得分的比表示的不是两个数的相除关系,而是双方得分的相差关系比号的前后和后面都可以是0
  • (2)、而数学中的比表示的是两个数之间的相除关系其后项是不能等于0的。比可以计算出相除的结果(也就是比值),也可以进行化简,如3:6=1:2。但是比赛得分就不能除法计算,也不能化简。

二、比的基本性质与化简比

1、比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变

根据比与除法、分数之间的关系,可以类比一下比的基本性质、除法中的商不变性质、分数的基本性质。

  • 商不变性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变;
  • 分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数大小不变。

2、化简比:利用比的基本性质,把比化简成最简整数比。

最简整数比:比的前项和后项都是整数,且只有公因数1,也就是比的前项和后项互质

3、化简比的方法总结:

  • (1)、整数比化简:前项和后项同时除以他们的最大公因数;
  • (2)、分数比化简:前项和后项同时乘以分母的最小公倍数,使其变成整数比,再按整数比的方法化简;
  • (3)、小数比化简:前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数,使其变成整数比,再按整数比的方法化简;
  • (4)、小数和分数混合的比:可以先把小数化成分数,使其变成分数比,再按分数比的方法化简;也可以是先把分数化成小数,使其变成小数比,再按小数比的方法化简。

三、利用比的基本性质解题

1、常考题型一:例、把5:12的前项加上5,要使其比值不变,后项应该加上多少?

【解析】误区提示:比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。如果把比的比的前项和后项同时加上或者减去相同的数(0除外),并不能保证比值不变,所以后项不能和前项一样加上5。

正确思路:前项加上5,5+5=10,相当于前项乘以2,要使其比值不变,后项也要乘以2,12×2=24,5:12=10:24。但是题目问的时候后项应该加上多少,所以24-12=12,后项应该加上12。

2、常考题型二:化连比。

例、已知甲数:乙数=3:10,乙数:丙数=4:9,请问甲乙丙三个数的比是多少?

【解析】甲数:乙数=3:10,乙数:丙数=4:9,可以发现甲乙的比中乙数占10份,而乙丙的比中乙数占4份,同一个数在不同的比中的份数不一样,是因为每一份的量不统一。那么咱们可以抓住乙数这个中间量来统一每份数

具体方法就是找到中间量的最小公倍数,4 和10的最小公倍数是20,根据比的基本性质,甲数:乙数=3:10=6:20;乙数:丙数=4:9=20:45。

这样一来乙数在两个比中所占的份数都是20份,那么两个比中的每一份的量就是相同的,可以写成连比,甲:乙:丙=6:20:45。

本期思考题:甲数是乙数的3/10,乙数是丙数的4/9,求这三个数的连比。

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