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微分和导数是一回事吗(微分、导数是怎么回事?)

100次浏览     发布时间:2024-09-10 08:16:09    

一、先复习已经学过的分数、速度

1、小学阶段学过分数

为了方便后面的对比理解,我们先明确以下概念:在上面的分数中,数字1称做分子,数字2称做分母,数字0.5称做分数值;

把公式1变化一下,写成

0.5×2=1 或者1=0.5×2 (公式2)

称呼随之改变:数字1在这里称做积,数字2称做乘数,数字0.5称做被乘数。

从以上两个公式的情形可以看出来,实质内容一样的东西,表达的形式变了,称呼也跟着变了。俗话说入乡随俗,到哪道山唱什么歌,大家要慢慢习惯这个做法。

其实严格说来,细论的话,不同的表达形式,表征的内涵是不完全相同的,这就是表达形式和称呼变化的根据。比如公式1,表达的是一个东西分成两份,每份分了多少;公式2又有两种表达方式,前者表达的是两个0.5合起来是1,后者表达的是1分成了两个0.5。

2、初中阶段学过有关速度公式

用符号表示,则有

公式4与公式3在物理上完全一样,那为什么非要用符号表达呢?

在科学上,常用各种符号表达各种概念、公式、数值等,这种做法一是约定俗成,大家都这么做的,我们只用记住、使用就行;二是方便与人沟通、交流;三是为了表达简洁,方便推导运算。

二、下面,我们稍微扩展一点距离、时间的表示方法。

1、距离:假设你在操场上沿跑道跑步,从100米处跑到了300米处,跑的距离是200米。

现在沿跑道做一数轴,起跑处取为原点,把跑道100米处记为x1,把300米处记为x2,则你跑的距离S= x2-x1=300-100=200(米)

由于S是x2与x1的差值,那我们就换个记法,这个差值不再用字母S表示,而是用Δx,即Δx= x2-x1=300-100=200(米)。其中Δ是希腊字母,英语词是Delta,音译读作:德尔塔。

在这里,需要明确指出,由于Δx= 200米是一个确定的差值,故,我们说符号Δ表示的是一个有限大小的差值。(注意“有限大小”这个说法,后面要对比使用的)

2、时间:假设你从100米处开始跑,时间是9点50分29秒,跑到300米处的时间是9点50分59秒,即你跑200米用了30秒的时间,也即t=30秒。

与距离一样,我们换个记法:t1=9点50分29秒,t2=9点50分59秒,Δt= t2- t1=9点50分59秒-9点50分29秒=30秒

至此,我们知道,公式4可以改写成如下形式

三、平均速度、瞬时速度

1、上面的公式计算出来的速度,是在30秒内跑200米的平均速度。

你在跑步时,实际上可能会忽快忽慢,甚至会停下来喘口气。平均速度的意思就是,不管你怎样跑,反正是跑了200米,用了30秒,相当于你用平均速度匀速跑了30秒。

2、那你的起跑速度如何呢?

起跑速度就是在起跑时刹那间的速度,物理上称为瞬时速度。

设想你跑了很多次,跑的距离越来越短,用的时间自然也是越来越少。

极端情况:你跑的距离是无限短,用的时间是无限少,这个时候你的速度就是起跑速度。

注意“无限短、无限少”这种说法,对比前面的“有限大小”的说法,加以体会、理解“有限小、无限小”两个词汇表达的意义。

四、无穷小

“有限小”好理解,我就不再啰嗦了。那么,什么是“无限小”、怎么理解“无限小”这个概念呢?

借用友友的精妙解释:“包子的馅趋于无限小时等于馒头,包子的皮趋于无限小时等于丸子”。无限小,也称作无穷小。

前面我们知道,对“有限大小”的值,用字母Δ表示,现在对于“无穷小”,自然不能继续再用Δ表示。字母Δ英语词汇是delta,我们就用这个词汇的第一个字母d表示“无穷小”。

这样,对于起跑速度,也即起跑时的瞬时速度,公式5可以改写成

上式表示在无限小时间dt内,跑了无限小的距离dx,两者的比值就是瞬时速度V。

比照公式1、2,公式6也可以变化成

dx=Vdt 公式7

五、微分、导数

把公式6与公式1、4比较,可以看出,公式6情况发生了根本性的变化。使用的符号不一样了,含义不一样了,称呼自然也得改变。

1、处于公式7中被乘数位置的V,也即公式6中的分数值,现在称为导数。导数,顾名思义,为了帮助记忆,在这里可以简单理解为推导出来的数。

2、无限小时间dt称为时间t的微分

微即微小之意,分即分割之意,就是把有限大小的值分割成无穷多个无穷小,这个无穷小称为微分。

打个粗略的比方。吃西安羊肉泡馍时,需要把一个完整的面饼掰成很小的小块。我在西安初次吃泡馍时,认为面饼已经掰得很小了,结果老板还是说太大了,需要耐着性子,把面饼掰成很小很小的小块,这样泡出的面饼才好吃。如此尽量小的面饼块就可以看做是面饼的微分。

吃泡馍时把大块面饼微分(掰碎)是为了好吃,数学、物理上把一个量微分是为了好计算。

3、同理,无限小距离dx称为距离x的微分。

六、举例:力学中功的计算

1、对大小、方向均不变化的恒力F

如图1所示,恒力F对物体所作的功A,等于力与物体沿力的方向所作位移大小Δr的乘积。即

A=FΔr (公式8)

图1 恒力对物体作功

2、对大小或方向随时间变化的变力F

如图2所示,此时,公式8无法直接使用。

图2 变力对物体作功

此时,就需要微分登场了:可以在物体运动轨道上任取一位移微元dr(微元即微分的意思),在这个位移微元内,近似认为力的大小、方向均不随时间变化,是恒力,则力作的功微元dA:

dA=Fcosφdr (公式9)

(将上式两边积分,就可以得到变力F所做总功。有关积分的具体内容在下一篇中介绍。)

七、函数、自变量

在你跑步时,一般情况,跑的时间越多,跑的距离越长。也就是说,跑的距离是随时间变化的,我们称距离是时间的函数,记为x=f(t)。

“函”字在这里有包含、容纳之意;符号f来自英语词汇function(函数)的第一个字母;

时间t称为自变量,即时间t自己变化,包含时间的距离x随之变化。公式6也可写成

上式称作对函数f(t)求导,或者函数f(t)对t求导,或者f(t)对t的导数是V

八、极限

在具体求导计算中,自变量无穷小dt可以看做是:有限小Δt趋于零,则公式10可以改写成:

其中,lim是英文词汇limit(意思是极限)的缩写。上式表示的极就是起跑时的瞬时速度,也就是跑步时间趋于零时跑步速度的值。

九、求导例题

求函数f(t)=t平方的导数。

解:由以上论述,得知

根据公式10和11,导数

即函数t平方的导数是2t。

这个结果可以作为导数公式记忆下来,还有其他常用导数公式也要背熟,在以后计算中可以直接使用。

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